MORRISOVA VĚTA

ÚVOD

Tato stránka shrnuje veškeré poznatky nashromážděné v rámci nejnovějších výzkumů Velké Morrisovy věty (zkráceně Morrisovy věty). Tato matematická věta si v poslední době získává stále větší oblibu, leč publikací (ať už v knižní nebo elektronické podobě) je zatím pramálo. Důvodů je pravděpodobně hned několik. Tím hlavním je bezpochyby její mladá historie, jelikož věta byla pořádně publikovaná teprve nedávno (více k historii se dočtete v následující kapitole). Druhým důvodem je pravděpodobně kontroverznost, jež tato věta způsobila na poli matematiky. 

ZNĚNÍ VĚTY

Mějme náhodný jev A. Potom platí:
                                                                                       P(A) = 0.5
kde P(A) je pravděpodobnost jevu A. Tato pravděpodobnost je neměnná a platí za jakýchkoliv předpokladů, které si stanovíme.

DŮKAZ VĚTY

Pro důkaz této věty využijeme větu o pravděpodobnosti hodu mincí (uvažujeme pouze její zjednodušenou podobu, kdy nebereme v úvahu možnost, že nám padne hrana). Připomeňme si její znění:

          Mějme náhodný jev A a náhodný jev B. Nechť jsou jevy A a B vzájemně neslučitelné a nechť v každém pokusu nastává pouze jeden 
          z nich, takže součet pravděpodobností těchto jevů je roven jedné:

                                                                                      P(A) + P(B) = 1

          P(A) je pravděpodobnost jevu A a P(B) je pravděpodobnost jevu B. V případě hodu mincí oba tyto jevy nastávají se stejnou
          pravděpodobností, z čehož vyplývá P(A) = P(B) = 0.5.

Uvědomme si také, že věta o pravděpodobnosti hodu mincí pracuje s předpokladem, že výsledkem hodu mincí jsou pouze dva možné jevy (v lajcké interpretaci věty o hodu mincí hovoříme o jevech pana a orel). Tohoto poznatku využijeme v následující části důkazu. Nyní zpět k Morrisově větě.

Definujme X jako množinu všech pokusů, které kdy nastaly, aktuálně nastávají nebo mohou nastat ve všech reálných i imaginárních vesmírech. Nechť D je množina všech jevů, které jsou výsledkem experimentu x pro ∀x ∈ X. Vezměme libovolný jev d ∈ D. Pak tento jev buď je, nebo není výsledkem experimentu x. To ale dle věty o hodu mincí znamená, že P(d) = 0.5, kde P(d) je pravděpodobnost s jakou nastane jev d. V rámci Morrisovy věty jsou tyto dva možné stavy jevu d popisovány jako stane se to popř. nestane se to. Dokázali jsme tedy, že pravděpodobnost, že nastane libovolný jev, jenž je výsledkem libovolného experimentu, je vždy 0.5 .

GRAFICKÁ PODOBA DŮKAZU

Předchozí důkaz je poměrně technický (tím pádem i nezajímavý). Existuje rovněž jeho grafická podoba, kterou znázornil autor ve videu níže. Čtenář, jenž se ztratil ve zbytečných technikáliích Morrisova původního důkazu, tak může dát této větě ještě jednu šanci:

PŘÍKLADY

ZADÁNÍ Č. 1

Jaká je pravděpodobnost, že na běžné hrací kostce padne sudé číslo?

ŘEŠENÍ POMOCÍ DEFINICE

Jak víme, pravděpodobnost lze z definice spočítat jako podíl počtu příznivých jevů a počtu všech jevů. Počet všech jevů je 6. Příznivé jevy, tedy jevy, kdy na kostce padne sudé číslo, jsou 3, konkrétně se jedná o čísla 2, 4 a 6. Nyní můžeme dosadit a získávám pravděpodobnost 3/6 = 0.5. Výsledná pravděpodobnost je tedy 50 %.

ŘEŠENÍ POMOCÍ MORRISOVY VĚTY

Z Morrisovy věty rovnou vidíme, že pravděpodobnost je 50 %.

ZADÁNÍ Č. 2

Víme následující informace:

  • Pravděpodobnost, že osoba má rakovinu plic, je 0,1 % (tj. 1 ze 1000 lidí)
  • Pravděpodobnost, že test na rakovinu plic je negativní u osoby s rakovinou plic, je 90 %
  • Pravděpodobnost, že test na rakovinu plic je negativní u osoby bez rakoviny plic, je 99 %

U dané osoby byl proveden test na rakovinu plic, výsledek testu byl negativní. jaká je pravděpodobnost, že daná osoba má rakovinu plic?

ŘEŠENÍ POMOCÍ BAYESOVY VĚTY

Nejdříve si připomeňme Bayesovu větu:
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

Nyní aplikujme tuto větu na naše zadání.
Za výrazy P(B|A)  a  P(A) můžeme rovnou dosadit, jelikož to jsou hodnoty ze zadání. Zbývá vyřešit, co dosadit za výraz P(B). Za P(B) dosadíme (0,9 * 0,001 + 0,99 * 0,999). Výraz P(B) nám vyjadřuje, jaká je pravděpodobnost, že test na rakovinu plic je negativní, ať už má osoba rakovinu plic nebo ne. Výraz 0,9 * 0,001 představuje pravděpodobnost, že test na rakovinu plic je negativní u osoby s rakovinou plic, a 0,99 * 0,999 představuje pravděpodobnost, že test na rakovinu plic je negativní u osoby bez rakoviny plic. Tyto dvě hodnoty se pak sečtou, aby se získala konečná pravděpodobnost, že test na rakovinu plic je negativní. 
Poznámka autora: Výraz 0,9 * 0,001 představuje pravděpodobnost, že test na rakovinu plic je negativní u osoby s rakovinou plic, protože se v něm kombinují dvě pravděpodobnosti:

  1. Pravděpodobnost, že osoba má rakovinu plic, která je 0,1 % (tj. 1 ze 1000 lidí). Tato pravděpodobnost se vyjadřuje jako 0,001.
  2. Pravděpodobnost, že test na rakovinu plic je negativní u osoby s rakovinou plic, která je 90 %. Tato pravděpodobnost se vyjadřuje jako 0,9.

Když se tyto dvě pravděpodobnosti vzájemně vynásobí, dostaneme hodnotu 0,9 * 0,001 = 0,0009, což představuje pravděpodobnost, že test na rakovinu plic je negativní u osoby s rakovinou plic.

Dosazením do Bayesovy věty tedy dostáváme P(A|B) = 0,9 * 0,001 /
(0,9 * 0,001 + 0,99 * 0,999) = 0,5 = 50 % .

ŘEŠENÍ POMOCÍ MORRISOVY VĚTY

Řešení pomocí Morrisovy věty je poněkud přímočařejší. Z Morrisovy věty totiž rovnou vidíme, že pravděpodobnost je 50 %.

HISTORIE

Jak již bylo zmíněno, kořeny této věty sahají pouze do prvního desetiletí 21. století. Byla formulována v roce 2008 madagaskarským matematikem Morrisem. Jméno tohoto matematika můžeme častěji nalézt v jeho původní podobě jako Maurice (tzv. Mauricova věta). Důvodem je historický vývoj na území Madagaskaru. Madagaskar byl dlouhá léta francouzskou kolonií, což vysvětluje častou francouzskou podobu tohoto jména. Morris sám však upřednostňuje anglicistní formu svého jména, tudíž i v tomto článku budeme uvádět jméno v této podobě. Pokusy formulovat tuto větu už byly v historii mnohokrát, žádnému matematikovi se to však nikdy nepovedlo. Morris tak měl dostatek podkladů, které při své využil při své práci, a které se dochovaly jako fragmenty. Dnes již máme korektní znění včetně definice. Jisté zdroje uvádějí, že Morris nepracoval na větě sám, ale za významné podpory svého kolegy Juliena. Oficiální název by tak měl být Morris-Julienova věta.

V rámci sbírání poznatků k Morrisově větě jsme rovněž narazili na dobovou nahrávku samotného Morrise, který vysvětluje důkaz své věty studentům na Madagaskaru začátkem léta 2008. Nahrávku si můžete pustit níže. Morris byl proslulý svým flegmatickým projevem, i přesto však dokázal ve svých žácích probudit obrovské nadšení pro přednášenou látku. Na nahrávce můžeme také vidět Morrisova přítele Juliana, který byl pravděpodobně s Morrisem při prvním vyslovení Morrisovy věty. 

MOUDRO NA ZÁVĚR